2025.5.29 ２D空間の軸回転

次の２次形式を考える。

$ f = 6x^2 + 2xy + 3y^2

$ = \left[\begin{array}{cc} x & y \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 6 & 2 \\ 2 & 3 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] = {\bf x}^\top A {\bf x}

$ (\lambda_1, \lambda_2) = (2, 7)

固有ベクトル

$ {\bf v}_1 = \left[\begin{array}{c}1/\sqrt{5} \\ -2/\sqrt{5} \end{array}\right] , {\bf v}_2 = \left[\begin{array}{c} 2/\sqrt{5} \\ 1/\sqrt{5} \end{array}\right]

である。

であり、これは直交行列なので

$ A = UU^\top A U U^\top = U \left[\begin{array}{cc} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{array}\right] U^\top = U \Lambda U^\top

となり。もとの２次形式を考慮すると、

$ f = {\bf x}^\top U \Lambda U^\top {\bf x} = {\bf x}'^\top UAU^\top {\bf x}'

$ x' = \frac{x}{\sqrt{5}} - \frac{2y}{\sqrt{5}}

$ y' = \frac{2x}{\sqrt{5}} + \frac{y}{\sqrt{5}}

このとき、固有ベクトルによって座標がどのように変換されたのかを確認しよう。

code:p1.py

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-2, 2, 10)

y = np.linspace(-2, 2, 10)

X, Y = np.meshgrid(x, y)

def trans(x, y):

xd = (x - 2*y)/np.sqrt(5)

yd = (2*x + y)/np.sqrt(5)

return (xd, yd)

Xd, Yd = trans(X, Y)

plt.axvline(0, lw=0.5, color='black')

plt.axhline(0, lw=0.5, color='black')

plt.plot(X, Y, '*', color='blue')

plt.plot(Xd, Yd, '*', color='red')

plt.show()

https://scrapbox.io/files/68381523669e87d87575a979.png

次のようにすると、変換後の２次形式は、元の２D空間における座標と次のように対応していることが確認できる。

code:p2.py

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-2, 2, 5)

y = np.linspace(-2, 2, 5)

X, Y = np.meshgrid(x, y)

def trans(x, y):

xd = (x - 2*y)/np.sqrt(5)

yd = (2*x + y)/np.sqrt(5)

return (xd, yd)

Xd, Yd = trans(X, Y)

plt.grid()

plt.axvline(0, lw=0.5, color='black')

plt.axhline(0, lw=0.5, color='black')

for x1, y1, x2, y2 in zip(X, Y, Xd, Yd):

plt.plot(x1, y1, 'x', color='blue')

plt.plot(x2, y2, 'o', color='red')

plt.show()

回転している。

https://scrapbox.io/files/683817d2d3718f2226f987c8.png

ちょっと修正するとつぎのようになる。

https://scrapbox.io/files/6838182a7fd89127779e6811.png